Rentabilités simples : la méthode de la page Frontière
Des rentabilités journalières aux rentabilités mensuelles. Tout part des rentabilités journalières des 6 043 jours de bourse. Pour chaque actif, les rentabilités de chaque période de 21 jours de bourse consécutifs sont composées jour après jour : on obtient 6 023 rentabilités mensuelles simples, chaque jour de bourse de la période y entre. Pourquoi 21 : la bourse de New York ouvre environ 252 jours par an, soit 252 ÷ 12 = 21 par mois. Le mois de l’outil est donc un mois de bourse de 21 jours : il dure à peu près un mois civil sans en suivre les limites. Dans tout l’outil, « mois » désigne ce mois de bourse. Les mois sont glissants : chacun commence un jour de bourse après le précédent, si bien que deux mois voisins partagent 20 jours sur 21. Ils ne contiennent donc qu’environ 287 mois sans chevauchement. Travailler au mois plutôt qu’au jour n’est pas un détail : les rentabilités journalières ne sont pas indépendantes (les marchés corrigent en partie leurs excès d’un jour à l’autre). Annualisées directement, fois 252 et racine de 252, elles surestiment, sur l’historique complet 2002-2026, la volatilité jusqu’à 5 points et la rentabilité attendue jusqu’à 0,9 point. Sur cette page, les mesures de queue (VaR, CVaR, pire rentabilité mensuelle, Omega) portent sur ces mois de bourse ; dans l’onglet « Horizons », elles portent sur des trajectoires simulées à 1, 5, 10, 15 et 20 ans (croissance annualisée ou rentabilité terminale) et leurs valeurs ne se comparent pas à celles de cette page.
Un portefeuille à poids constants. Les poids sont rétablis chaque mois : la rentabilité mensuelle du portefeuille est alors exactement la moyenne pondérée de celles de ses actifs. Sa moyenne m est la moyenne pondérée des moyennes des actifs ; sa variance s² se calcule avec leur matrice de covariance.
Le rééquilibrage. Comme chez Markowitz et Sharpe, le modèle porte sur une seule période, ici le mois de bourse : on fixe les poids au début puis l’on conserve les quantités détenues jusqu’à la fin, ce qui donne exactement la moyenne pondérée des rentabilités du mois. Pour garder le même optimum période après période, le portefeuille revient à ses poids cibles chaque mois de bourse, 12 fois par an, sans alignement sur les mois civils. Les sept critères supposent ce rééquilibrage, puisque chacun se mesure sur les rentabilités mensuelles du portefeuille. Avec cette annualisation, le Sharpe annuel vaut exactement racine de 12 fois le Sharpe mensuel : il classe les portefeuilles comme le Sharpe mensuel. Le Sortino est annualisé de la même façon par convention, sans que ce soit une propriété ; la variance minimale se mesure par la volatilité annuelle ; Omega, MV VaR, CVaR et Maxi-min se lisent au mois. Sur l’historique complet 2002-2026, mesurés sur les rentabilités réellement composées à 5 ou 20 ans, tous les critères retiendraient d’autres portefeuilles : le Sharpe peu (9 points de poids au plus), la variance minimale à peine (2,3 points au plus), Sortino et Omega fortement (20 à 35 points à 5 ans, environ 65 à 20 ans, quand presque plus aucune trajectoire ne passe sous le taux sans risque), comme le montre l’onglet « Horizons ».
L’annualisation des manuels. La rentabilité attendue annuelle vaut μ = 12 m (sans composer les rentabilités mensuelles) et la volatilité annuelle σ = s × racine de 12, les rentabilités mensuelles étant supposées indépendantes. Le taux sans risque annuel Rf compte pour Rf / 12 par mois. L’axe vertical affiche μ, l’axe horizontal σ.
Le Sharpe, la frontière et la droite de marché. Le ratio de Sharpe vaut (μ − Rf) / σ : c’est le Sharpe mensuel, (m − Rf / 12) / s, multiplié par racine de 12. La frontière d’efficience est celle de Markowitz, tracée par programmation quadratique exacte sur les rentabilités mensuelles puis mise à l’échelle annuelle. Le portefeuille tangent est calculé exactement : entre deux points voisins de la frontière, les poids varient en ligne droite et le maximum du Sharpe s’y obtient par une formule directe. Combiné à l’actif sans risque, il donne la droite de marché, une droite exacte : μ = Rf + a (μT − Rf) et σ = a σT pour une exposition a.
Une unité par ratio. Chaque ratio rapporte une rentabilité et un risque mesurés sur la même période. Les mesures fondées sur la moyenne et l’écart type passent du mois à l’année par une règle simple (12 fois la moyenne, racine de 12 fois l’écart type, par convention pour la semi-déviation) : le panneau les affiche annualisées (rentabilité attendue, volatilité, semi-déviation, Sharpe, Sortino). Les mesures de queue et de distribution n’ont pas de règle de ce type : elles restent au mois (CVaR, ratio STARR, VaR, pire rentabilité mensuelle, Omega). C’est la présentation usuelle des fiches de fonds. Chaque infobulle donne le calcul dans son unité.
Les mesures de queue se lisent au mois. Omega, VaR, CVaR et Maxi-min dépendent de la forme de la distribution des rentabilités mensuelles : passer du mois à l’année demande la loi des rentabilités annuelles. Même sous une hypothèse normale, ce n’est pas une multiplication par racine de 12. Elles sont donc mesurées au mois, comme le veut l’usage pour ces ratios, sur la distribution exacte des 6 023 rentabilités mensuelles, sans simulation, avec le taux sans risque mensuel Rf / 12. La MV VaR, qui retient sur la frontière le portefeuille dont la VaR mensuelle à 95 %, 5e centile des rentabilités mensuelles, est la plus élevée, se lit elle aussi au mois. Le Sortino, qui rapporte comme le Sharpe un excès de rentabilité moyenne à une mesure de dispersion (la semi-déviation au lieu de l’écart type), s’annualise par convention de la même façon, fois racine de 12 : les deux ratios se comparent.
Rentabilité attendue et TCAC (CAGR en anglais). Le panneau affiche aussi le TCAC effectivement réalisé, le rythme auquel le capital a réellement grandi sur une seule trajectoire : 100 investis au début de la période (première rentabilité journalière le 31 juillet 2002), poids rétablis chaque mois de bourse (287 rééquilibrages, sans frais), jusqu’au 27 août 2026. Sur ces 6 043 jours de bourse, soit 23,98 années de 252 jours de bourse, TCAC = (valeur finale / 100) puissance (252 / 6 043) moins 1. Il diffère de la rentabilité attendue μ = 12 m principalement pour deux raisons : la composition des rentabilités mensuelles sur une année tire le TCAC au-dessus de μ, la volatilité le tire en dessous, d’environ la moitié de la variance annuelle.
Le rééchantillonnage. Avec le réglage « Rééchantillonnée », l’outil tire 2 000 historiques fictifs de 287 mois, pris au hasard et avec remise parmi les mois réels (bootstrap), les mêmes pour tous les actifs ; sur chacun, il recalcule exactement la frontière et l’optimum du critère choisi. La frontière de Michaud (Michaud, 1998) est la courbe épaisse : sur chaque frontière, on prend 100 portefeuilles régulièrement espacés en rentabilité attendue, du moins risqué au plus rentable ; on fait la moyenne des poids rang par rang, puis l’on évalue ces portefeuilles moyens avec les paramètres historiques. Elle passe un peu sous la frontière d’efficience historique, tracée en trait fin : c’est le prix de l’incertitude d’estimation. À chaque niveau de volatilité, le ruban contient 80 % des frontières estimées (10e-90e centiles) et sa ligne pointillée est leur médiane. Chaque frontière estimée est évaluée avec les paramètres de son propre tirage, qui la flattent : la médiane du ruban passe donc au-dessus de la frontière historique. Pour le Sharpe, le portefeuille retenu est le maximum de Sharpe de la frontière de Michaud, à la manière de Michaud. Pour la variance minimale, le portefeuille retenu est l’extrémité gauche de la frontière de Michaud : la moyenne des 2 000 portefeuilles de variance minimale des tirages. Pour les cinq critères qui mesurent le risque autrement, que la théorie de Michaud ne couvre pas (elle porte sur la moyenne-variance), le portefeuille retenu est la moyenne des 2 000 optimums du critère : une extension de son principe, connue sous le nom de bagging (Breiman, 1996). Seule différence avec la procédure de Michaud : il tire ses historiques dans une loi normale ; tirer dans les vrais mois garde les queues que mesurent Omega, Sortino, CVaR et Maxi-min ; sur l’historique complet 2002-2026, cela ne déplace la frontière de Michaud que de 2 points de poids au plus. Pour chaque actif, le panneau donne la fourchette de son poids parmi les 2 000 tirages (10e et 90e centiles) : elle dit à quel point l’allocation dépend de l’historique observé. Pour le Sharpe, cette fourchette porte sur les portefeuilles des 2 000 frontières situés au même rang que le point retenu.
Vérification. Chaque optimum est contrôlé contre une recherche exhaustive sur une grille de portefeuilles : aucun portefeuille de la grille ne fait mieux.
Limites. Ce sont des estimations historiques sur une seule période, pas des prévisions. Les rentabilités mensuelles sans chevauchement, d’un mois de bourse au suivant, sont supposées indépendantes : les crises qui s’enchaînent sur plusieurs mois et le retour à la moyenne d’un mois à l’autre ne sont pris en compte ni ici ni dans l’onglet « Horizons », qui tire lui aussi ses mois au hasard ; les onglets « Passé réel » et « Risque en crise » montrent ce qu’ils changent sur la trajectoire effectivement vécue. Le rééquilibrage mensuel est supposé sans frais. Le taux sans risque est un taux annuel constant, égal par défaut à 12 fois la rentabilité mensuelle moyenne du T-Bill 13 semaines sur l’échantillon, la même convention que les actifs.
D’où viennent les données
Historique complet : rentabilités journalières « total return » sur 6 043 jours de bourse, du 31 juillet 2002 au 27 août 2026,
composées jour après jour. Taux sans risque par défaut 1,70 %, 12 fois la rentabilité mensuelle moyenne du T-Bill 13 semaines sur la période retenue (2002-2026).
Une série est un indice (S&P 500 total return), trois sont des fonds indiciels
(QQQ comme approximation du Nasdaq-100, IEF pour les Treasuries 7-10 ans, IYR pour l’immobilier
coté) et la dernière un contrat à terme COMEX sur l’or, qui n’est pas le prix au comptant.
Les rentabilités des fonds incluent distributions, divisions et frais de gestion.
L’or n’est pas mesuré comme les quatre autres. Les quatre premières séries sont en
rentabilité totale : elles réinvestissent dividendes et coupons. L’or est un prix de contrat à terme,
donc une série sans revenu, ce qui ne le pénalise pas pour autant : l’or ne distribue rien, il n’y
a aucun revenu manquant à réinvestir. Un investisseur qui le détiendrait via des contrats
collatéralisés toucherait la rentabilité du collatéral ; il paierait aussi le report intégré au prix
des contrats à terme ; pour l’or, les deux se compensent à peu près.
Vérification de la série d’or. Sur l’historique complet 2002-2026, le cumul des rentabilités
journalières vaut 15,178 et le rapport des prix du contrat entre les deux bornes 15,203, soit
0,16 % d’écart : la série suit donc bien le chemin du prix, de 303,20 à 4 609,70 dollars l’once.
Les plus fortes variations journalières sont des événements de marché identifiables (avril 2013,
septembre 2008, mars 2020) plutôt que des sauts d’échéance ; en moyenne, la rentabilité
d’un mois d’échéance COMEX ne se distingue pas de celle des autres mois : aucune discontinuité de roulement
n’apparaît dans les données.
Frais et roulement. La série ne déduit aucun frais ni coût de stockage : elle flatte légèrement l’or face à un fonds physique, dont les frais tournent autour de 0,40 % par an. La source ne publie pas sa méthode de roulement des contrats : c’est une limite de provenance, même si elle ne se voit pas dans les données.
Actif complémentaire : le bitcoin. Série BTC-USD de Yahoo Finance (clôture ajustée, identique à la clôture : le bitcoin ne verse rien), collectée le 15 octobre 2026, disponible depuis le 18 septembre 2014. Décoché par défaut. Le cocher ramène toutes les séries, les dates et le taux sans risque par défaut à la période commune, plus courte : sur l’historique complet, environ 12 ans au lieu de 24, avec moins de mois sans chevauchement et donc des estimations moins précises. Deux limites sont propres au bitcoin, coté sept jours sur sept. Le week-end : les rentabilités suivent le calendrier de la bourse de New York, si bien que la rentabilité du lundi couvre le vendredi soir au lundi soir. Rien n’est perdu (le produit des rentabilités redonne exactement la variation de prix) ; le lundi est en revanche plus agité : sur 2014-2026, son écart type vaut environ 1,4 fois celui des autres jours et les lundis font 25 % des 5 % pires jours du bitcoin, alors qu’ils ne représentent que 19 % des jours de bourse. Les rentabilités mensuelles, base de la frontière, des ratios, du CAPM et des simulations, n’en dépendent pas. Les rentabilités cumulées sur un épisode non plus : elles incluent bien les week-ends. Seules les mesures jour par jour de l’onglet « Risque en crise » (pires jours, corrélations journalières, jours de panique) donnent au lundi le poids de trois jours de marché. L’heure de clôture : Yahoo arrête le bitcoin à minuit UTC, soit trois à quatre heures après la clôture de New York ; comme pour l’or, le passage au mois atténue ce décalage.
Source de collecte : Yahoo Finance, le 29 août 2026. C’est une source de travail, suffisante pour
apprendre, insuffisante pour certifier une analyse ou décider d’un investissement.