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Formation Gestion de portefeuille · Atelier SAGORA
Questions justes : 0 / 28

Gestion de portefeuille : parcours avancé

Huit étapes, une par objectif du cours, puis un bilan. Chaque étape pose une question, vous fait manipuler un seul graphique et vérifie votre compréhension par quelques questions à choix multiple. Les calculs sont ceux du simulateur complet, sur les mêmes données.

1. Lirela question de l'étape, en haut de la page.
2. Manipulerles réglages et observer le graphique.
3. Répondreaux questions : le corrigé s'affiche aussitôt.
4. Retenirla phrase qui clôt l'étape.

Cinq actifs américains en dollars, du 31/07/2002 au 27/08/2026 (Yahoo Finance). Un mois de bourse compte 21 jours. Taux sans risque : bons du Trésor américains à 3 mois, 1,70 % par an en moyenne sur la période. Pour aller plus loin : le simulateur complet.

Étape 1 · Diversifier
Pourquoi ne pas tout placer sur l'actif qui a le plus rapporté ?

Chaque point est un actif, placé selon sa volatilité σ (le risque, en abscisse) et sa rentabilité attendue μ (en ordonnée). La courbe est la frontière d'efficience moyenne-variance de Markowitz : pour chaque niveau de volatilité, la rentabilité attendue la plus élevée qu'on obtient en mélangeant les actifs cochés. L'étoile est le portefeuille Max. Sharpe, celui du ratio de Sharpe maximal. La droite issue du taux sans risque qui le touche est la droite de marché (CML) : en réglant l'exposition, vous vous déplacez le long de cette droite.

Actifs du portefeuille
Part investie dans le portefeuille Max. Sharpe

Coût de l'emprunt au-delà de 100 %
Composition du portefeuille Max. Sharpe
Frontière d'efficienceFrontière avec les cinq actifsDroite de marchéVotre positionPortefeuilles tirés au hasard
À retenirLa diversification paie dès que la corrélation entre les actifs est inférieure à 1 : la volatilité du mélange passe sous la moyenne pondérée des volatilités. On choisit d'abord le portefeuille Max. Sharpe, puis on dose le risque avec l'actif sans risque, en prêtant ou en empruntant : c'est le théorème de séparation. Un emprunt réel coûte plus cher que le taux sans risque et casse la droite.
Étape 2 · Mesurer
Une moyenne exacte peut raconter une histoire fausse.

L'histogramme montre les 6 023 rentabilités mensuelles du portefeuille choisi, une par mois de bourse glissant. La rentabilité attendue μ vaut 12 fois leur moyenne : c'est une moyenne arithmétique. Le TCAC dit à quel rythme 100 placés au début de la période et rééquilibrés chaque mois de bourse ont réellement grandi : c'est une moyenne géométrique. Les barres orangées sont les rentabilités mensuelles sous le taux sans risque mensuel : ce sont les seules que compte la semi-déviation, calculée par rapport au taux sans risque (et non à 0 ni à la moyenne), dénominateur du ratio de Sortino. μ et le TCAC sortent du même historique : μ sert de prévision à l'optimisation, le TCAC constate ce qui s'est passé.

En grand, la valeur sur un an ; en dessous, sur un mois, à l'échelle de l'histogramme. L'annualisation est linéaire, pas composée : μ vaut 12 fois la moyenne mensuelle ; σ, la semi-déviation, Sharpe et Sortino valent √12 fois leur valeur mensuelle. Seul le TCAC est composé : 1 + TCAC = (1 + croissance mensuelle composée)12. Le cas du cours suit la même règle à partir des rentabilités journalières (× 252 et × √252) : la volatilité des actions y ressort plus forte.

Portefeuille
+50 % puis −50 %La moyenne arithmétique des deux rentabilités vaut 0 %. Pourtant 100 deviennent 150 puis 75 : le capital a baissé. La volatilité tire le TCAC sous la moyenne arithmétique, d'environ la moitié de la variance.
À retenirμ vaut 12 fois une moyenne arithmétique, le TCAC est une moyenne géométrique annualisée : la composition ajoute un peu au TCAC, la variance lui retire environ σ²/2. Pour un portefeuille peu volatil, le TCAC peut dépasser μ ; plus la variance est forte, plus il tend à passer en dessous. Le ratio de Sharpe divise l'excédent de rentabilité attendue par la volatilité ; le ratio de Sortino par la seule semi-déviation, qui ne compte que les rentabilités mensuelles sous le taux sans risque.
Étape 3 · Choisir un critère
Sept façons de définir le risque, sept portefeuilles.

Chaque ligne est le meilleur portefeuille d'un critère, sur les cinq actifs et les 6 023 rentabilités mensuelles. La VaR à 95 % est le 5e centile des rentabilités mensuelles ; la CVaR est la moyenne des 5 % pires rentabilités mensuelles. Une valeur négative est une perte. Cliquez sur une ligne pour voir sa distribution et ce que le critère cherche.

Ce que cherche chaque critère

Pour les sept critères, les poids des cinq actifs sont positifs ou nuls et leur somme vaut 100 % : pas de vente à découvert, pas d'emprunt. Tous les calculs portent sur les mêmes 6 023 rentabilités mensuelles.

    VaR à 95 %CVaR à 95 %Pire rentabilité mensuelle
    À retenirChanger de critère change l'allocation. La VaR ignore l'ampleur des pertes au-delà du seuil. La CVaR et le Maxi-min maximisent un ratio entre excédent de rentabilité et perte, pas la plus petite perte possible : un portefeuille très prudent peut perdre moins et obtenir un moins bon ratio.
    Étape 4 · Douter de l'optimum
    Un optimum affiché au dixième de point près reste une estimation.

    Quatre expériences, une par onglet. Chacune change une seule chose : le taux sans risque, la période des données, l'historique lui-même (rééchantillonné) ou le moment où l'on connaît l'allocation.

    Taux sans risque

    Le portefeuille de variance minimale ne regarde que les volatilités et les corrélations. Le portefeuille Max. Sharpe maximise (μ − Rf) / σ.

    Période des données
    Portefeuille Max. Sharpe de la période
    Frontière de la périodeBarre : μ ± 1 erreur type
    Nombre d'historiques tirés au hasard

    Chaque historique fictif compte 287 mois de bourse tirés avec remise parmi les 6 023 mois glissants réels. L'outil recalcule la frontière sur chacun, fait la moyenne des frontières rang par rang, puis retient le point de Sharpe maximal de cette frontière moyenne (méthode de Michaud). Avec 2 000 historiques, le calcul prend une dizaine de secondes.

    Poids sur l'historiquePoids moyen rééchantillonnéFourchette 10e-90e centile

    Pour choisir le portefeuille Max. Sharpe, il faut des données passées. Un investisseur ne peut utiliser que celles qui existent au moment où il place son argent. Le portefeuille que l'outil affiche ailleurs est calculé sur toute la période, y compris les années qui suivent le placement : il connaît déjà la suite. La frise montre quelles données chacun utilise.

    Date du placement
    À retenirUn optimum est une estimation : il dépend de la période observée et l'incertitude sur la rentabilité attendue (son erreur type) vaut environ σ divisée par la racine du nombre d'années. Le rééchantillonnage montre l'ampleur de cette dépendance. Le portefeuille de variance minimale, qui se passe des rentabilités attendues, est le plus stable sans être le plus performant.
    Étape 5 · Le temps
    Que peut devenir ce portefeuille et que change l'horizon ?

    Chaque modèle d'optimisation est réoptimisé pour l'horizon choisi : il choisit ses poids en regardant la croissance du capital sur 1, 5, 10, 15 ou 20 ans, pas sur un mois. La projection rejoue ensuite ce portefeuille sur 2 000 avenirs possibles, en enchaînant au hasard des mois de bourse tirés dans l'historique. Chaque avenir part de 1. Sous le graphique, une fiche explique comment le modèle choisi calcule ses poids. Le second onglet montre ce que deviennent Omega et Sortino quand on change leur seuil.

    Portefeuille
    Horizon
    Rééquilibrage
    Versement

    Avec un rééquilibrage, 0,15 % du montant échangé est prélevé à chaque retour aux poids cibles. L'argent qui attend son versement rapporte le taux sans risque.

    Entre les centiles 5 et 95, à chaque dateEntre les centiles 30 et 70, à chaque dateMédianeMoyenne finale
    Seuil des mesures de baisse
    Horizon

    Omega et Sortino jugent décevante une croissance annualisée sous le seuil. Le calcul cherche, à chaque horizon, le meilleur portefeuille de chacun sur 1 000 trajectoires, comme l'onglet Horizons du simulateur complet : quelques secondes par seuil.

    À retenirLe multiple moyen n'est pas le cas typique : lisez la médiane. Le rééquilibrage ne sert pas à gagner davantage, il garde le risque choisi. Étaler les versements protège à court terme et coûte un peu à long terme. Avec un seuil bas et un horizon long, presque aucune trajectoire ne finit avec une croissance annualisée sous le seuil : Omega et Sortino ne voient plus de risque.
    Étape 6 · Lire une distribution
    Comparer deux portefeuilles sur tous leurs résultats, pas sur un seul chiffre.

    La fonction de répartition donne, pour chaque niveau x, la part des résultats inférieurs ou égaux à x. Là où la courbe passe à 50 %, on lit la médiane ; à 5 %, le 5e centile. Plus une courbe est à droite, meilleurs sont les résultats. Comparez les modèles d'optimisation sur leurs rentabilités mensuelles (les portefeuilles de l'étape 3), puis sur leur croissance annualisée simulée à 1, 5, 10, 15 ou 20 ans. À chaque horizon, chaque modèle est réoptimisé sur la croissance simulée à cet horizon, comme dans l'onglet Horizons du simulateur complet : ses poids changent avec l'horizon (1 000 trajectoires, les mêmes pour tous les portefeuilles).

    Ce que l'on compare
    Portefeuille A
    Portefeuille B
    Qui domine qui parmi les sept modèles ?
    À retenirA domine B au premier ordre quand sa courbe n'est jamais au-dessus de celle de B et passe au moins une fois en dessous : tout investisseur qui préfère gagner plus choisit alors A. Quand les courbes se croisent, aucun ne domine l'autre au premier ordre et le choix dépend des préférences de l'investisseur. Sur un mois, les modèles d'optimisation ne se dominent pas ; sur un horizon long, des dominances apparaissent.
    Étape 7 · Les crises
    Un risque moyen n'est pas un risque de crise.

    La volatilité résume tous les mois, calmes ou agités. Quatre onglets regardent les moments où les marchés chutent : les valeurs extrêmes, bien plus fréquentes que ne le prévoit une loi normale ; ce que font les obligations et l'or pendant une crise ; les actifs qui résistent aux pires jours et ceux qui chutent ensemble ; les jours extrêmes, qui arrivent en grappes et pèsent lourd dans la performance.

    Actif

    Actions US (S&P 500), rentabilités journalières

    Une question : les très fortes baisses sont-elles aussi rares que le prévoit une loi normale de même écart-type ? On compare les jours observés à une loi normale de même moyenne et de même écart-type.

    Les actions US, jour par jour
    Tous les jours, de -6 % à +6 %
    Zoom : les baisses de plus de 4 %
    Jours observésBaisses de plus de 4 %Loi normale de même moyenne et de même écart-type journaliers

    À retenirLes rentabilités journalières ne suivent pas une loi normale de même moyenne et de même écart-type : elles comptent plus de jours très calmes, moins de jours intermédiaires et surtout bien plus de jours extrêmes, à la baisse comme à la hausse. Ces jours extrêmes en excès forment ce qu'on appelle des queues épaisses. La volatilité seule sous-estime donc le risque de crise : pour le mesurer, il faut regarder au-delà, comme le font la CVaR et le Maxi-min de l'étape 3.
    Épisode
    Corrélation sur toute la périodePendant l'épisode
    Actif de référence

    L'outil isole les 5 % pires jours de bourse de la référence et regarde ce qu'ont fait les autres actifs ces jours-là.

    Quand tout chute en même temps
    Portefeuille

    Un jour retiré est remplacé par ce qu'ont rapporté les bons du Trésor ce jour-là. Échelle logarithmique.

    Les 60 pires jours, année par année
    Valeur de 100 placés, avec et sans les jours extrêmes
    À retenirLes pertes extrêmes sont bien plus fréquentes que ne le prévoit une loi normale et arrivent en grappes : la volatilité seule sous-estime le risque de crise. Une corrélation négative sur l'ensemble de la période ne garantit pas une protection : les obligations ont amorti la crise de 2008 et le Covid, pas l'année 2022 où actions et obligations ont chuté ensemble. Ce qui protège dépend de ce qui provoque la crise. Quelques jours pèsent lourd dans la performance : les meilleurs tombent souvent juste après les pires.
    Étape 8 · CAPM et bêta
    Quelle rentabilité le risque d'un actif justifie-t-il ?

    La droite caractéristique est la droite de régression des rentabilités mensuelles de l'actif, au-delà du taux sans risque, sur celles du portefeuille de marché. Sa pente est le bêta, son ordonnée à l'origine l'alpha de Jensen ; le R² dit quelle part de la variance de l'actif le portefeuille de marché explique. Le CAPM ne rémunère que le risque systématique : E(Ri) = Rf + βi × (E(Rm) − Rf).

    Actif
    Portefeuille de marché retenu
    Variance de l'actif, décomposée
    Droite de marché des titres (SML)

    Un actif au-dessus de la droite a une μ observée supérieure à celle que son bêta justifie : son alpha est positif.

    Bêtas et alphas contre le portefeuille de marché retenu
    À retenirLe CAPM ne rémunère que le risque systématique, mesuré par le bêta. Le risque spécifique, que la diversification peut éliminer, n'est pas rémunéré. Un bêta et un alpha n'ont de sens que par rapport au portefeuille de marché retenu ; un alpha historique est un constat, pas une prévision.
    Bilan · Ce que l'outil n'est pas
    L'outil réorganise et rejoue le passé. Il ne le prévoit pas.

    Le bitcoin n'a de série Yahoo Finance que depuis le 18/09/2014. L'ajouter ramène tous les calculs à la période commune : les chiffres changent alors pour tous les actifs, pas seulement pour lui.

    Bitcoin
    Ce qu'il faut retenir
    • La diversification paie dès que la corrélation entre les actifs est inférieure à 1 : la volatilité du mélange passe sous la moyenne pondérée des volatilités.
    • Choisir puis doser : le portefeuille Max. Sharpe d'abord, l'actif sans risque ensuite.
    • Chaque critère mesure le risque autrement ; changer de critère change l'allocation.
    • Un optimum est une estimation : il dépend de la période observée.
    • Le temps change la lecture du risque : médiane et moyenne s'écartent avec l'horizon.
    • Une distribution se lit en entier ; si les courbes se croisent, aucune ne domine l'autre au premier ordre.
    • Les jours extrêmes, à la baisse comme à la hausse, sont bien plus fréquents que ne le prévoit une loi normale : mesurer le risque par la volatilité seulement revient à les sous-estimer.
    • Le CAPM ne rémunère que le risque systématique, mesuré par le bêta.

    Ouvrir le simulateur complet