Enkelvoudige rendementen: de methode van de pagina Grens
Van dagrendementen naar maandrendementen. Alles begint bij de dagrendementen van de 6.043 beursdagen. Voor elk actief worden de rendementen van elke periode van 21 opeenvolgende beursdagen dag na dag samengesteld: zo verkrijgt u 6.023 enkelvoudige maandrendementen, waarin elke beursdag van de periode meetelt. Waarom 21: de beurs van New York is ongeveer 252 dagen per jaar open, ofwel 252 ÷ 12 = 21 per maand. De maand van de tool is dus een beursmaand van 21 dagen: ze duurt ongeveer een kalendermaand zonder de grenzen ervan te volgen. In de hele tool betekent “maand” deze beursmaand. De maanden zijn voortschrijdend: elke maand begint een beursdag na de vorige, zodat twee opeenvolgende maanden 20 van de 21 dagen delen. Ze bevatten dus slechts ongeveer 287 maanden zonder overlapping. Per maand in plaats van per dag werken is geen detail: de dagrendementen zijn niet onafhankelijk (de markten corrigeren hun excessen van dag tot dag gedeeltelijk). Rechtstreeks geannualiseerd, maal 252 en vierkantswortel van 252, overschatten ze over de volledige historiek 2002-2026 de volatiliteit met maximaal 5 procentpunt en het verwachte rendement met maximaal 0,9 procentpunt. Op deze pagina hebben de staartmaten (VaR, CVaR, slechtste maandrendement, Omega) betrekking op die beursmaanden; in het tabblad “Horizons” hebben ze betrekking op trajecten die over 1, 5, 10, 15 en 20 jaar zijn gesimuleerd (geannualiseerde groei of eindrendement) en zijn hun waarden niet vergelijkbaar met die van deze pagina.
Een portefeuille met constante gewichten. De gewichten worden elke maand opnieuw ingesteld: het maandrendement van de portefeuille is dan exact het gewogen gemiddelde van dat van zijn activa. Het gemiddelde m ervan is het gewogen gemiddelde van de gemiddelden van de activa; de variantie s² wordt berekend met hun covariantiematrix.
De herbalancering. Zoals bij Markowitz en Sharpe heeft het model betrekking op één enkele periode, hier de beursmaand: de gewichten worden bij het begin vastgelegd en daarna worden de aangehouden hoeveelheden tot het einde behouden, wat exact het gewogen gemiddelde van de rendementen van de maand oplevert. Om periode na periode hetzelfde optimum te behouden, keert de portefeuille elke beursmaand terug naar zijn streefgewichten, 12 keer per jaar, zonder afstemming op de kalendermaanden. De zeven criteria veronderstellen deze herbalancering, aangezien elk ervan wordt gemeten op de maandrendementen van de portefeuille. Met deze annualisering is de jaarlijkse Sharpe-ratio exact gelijk aan vierkantswortel van 12 keer de maandelijkse Sharpe-ratio: hij rangschikt de portefeuilles zoals de maandelijkse Sharpe-ratio. De Sortino-ratio wordt volgens conventie op dezelfde manier geannualiseerd, zonder dat dit een eigenschap is; de minimale variantie wordt gemeten met de jaarlijkse volatiliteit; Omega, MV VaR, CVaR en Maxi-min worden per maand gelezen. Over de volledige historiek 2002-2026, gemeten op de werkelijk samengestelde rendementen over 5 of 20 jaar, zouden alle criteria andere portefeuilles selecteren: de Sharpe-ratio weinig (hoogstens 9 gewichtspunten), de minimale variantie nauwelijks (hoogstens 2,3 punten), Sortino en Omega sterk (20 tot 35 punten over 5 jaar, ongeveer 65 over 20 jaar, wanneer bijna geen enkel traject nog onder de risicovrije rente uitkomt), zoals het tabblad “Horizons” toont.
De annualisering van de handboeken. Het verwachte jaarrendement is μ = 12 m (zonder de maandrendementen samen te stellen) en de jaarlijkse volatiliteit σ = s × vierkantswortel van 12, waarbij de maandrendementen onafhankelijk worden verondersteld. De jaarlijkse risicovrije rente Rf komt overeen met Rf / 12 per maand. De verticale as toont μ, de horizontale as σ.
De Sharpe-ratio, de grens en de kapitaalmarktlijn. De Sharpe-ratio is gelijk aan (μ − Rf) / σ: dat is de maandelijkse Sharpe-ratio, (m − Rf / 12) / s, vermenigvuldigd met de vierkantswortel van 12. De efficiënte grens is die van Markowitz, getekend met exacte kwadratische programmering op de maandrendementen en daarna naar jaarbasis omgezet. De raaklijnportefeuille wordt exact berekend: tussen twee naburige punten van de grens variëren de gewichten lineair en het maximum van de Sharpe-ratio wordt daar met een rechtstreekse formule verkregen. Gecombineerd met het risicovrije actief levert hij de kapitaalmarktlijn op, een exacte rechte: μ = Rf + a (μT − Rf) en σ = a σT voor een blootstelling a.
Eén eenheid per ratio. Elke ratio zet een rendement en een risico tegenover elkaar die over dezelfde periode zijn gemeten. De maatstaven op basis van het gemiddelde en de standaardafwijking gaan van maand naar jaar met een eenvoudige regel (12 keer het gemiddelde, vierkantswortel van 12 keer de standaardafwijking, volgens conventie voor de semi-deviatie): het paneel toont ze geannualiseerd (verwacht rendement, volatiliteit, semi-deviatie, Sharpe, Sortino). Voor de staart- en verdelingsmaatstaven bestaat zo’n regel niet: ze blijven per maand (CVaR, STARR-ratio, VaR, slechtste maandrendement, Omega). Dat is de gebruikelijke voorstelling in fondsfiches. Elke infoballon geeft de berekening in de eigen eenheid.
Staartmaten worden per maand gelezen. Omega, VaR, CVaR en Maxi-min hangen af van de vorm van de verdeling van de maandrendementen: om van maand naar jaar over te gaan, is de verdeling van de jaarrendementen nodig. Zelfs onder een normaliteitshypothese is dat geen vermenigvuldiging met de vierkantswortel van 12. Ze worden dus per maand gemeten, zoals gebruikelijk is voor deze ratio’s, op de exacte verdeling van de 6.023 maandrendementen, zonder simulatie, met de maandelijkse risicovrije rente Rf / 12. Ook de MV VaR, die op de grens de portefeuille kiest waarvan de maandelijkse VaR op 95%, het 5e percentiel van de maandrendementen, het hoogst is, wordt per maand gelezen. De Sortino-ratio, die net als de Sharpe-ratio een gemiddeld overrendement afzet tegen een spreidingsmaat (de semi-deviatie in plaats van de standaardafwijking), wordt volgens de conventie op dezelfde manier geannualiseerd, maal de vierkantswortel van 12: beide ratio’s zijn onderling vergelijkbaar.
Verwacht rendement en CAGR (samengestelde jaarlijkse groei). Het paneel toont ook de werkelijk gerealiseerde CAGR, het tempo waarin het kapitaal echt gegroeid is langs één enkel traject: 100 belegd bij het begin van de periode (eerste dagrendement op 31 juli 2002), gewichten elke beursmaand opnieuw ingesteld (287 herbalanceringen, zonder kosten), tot 27 augustus 2026. Over deze 6.043 beursdagen, ofwel 23,98 jaar van 252 beursdagen, is CAGR = (eindwaarde / 100) tot de macht (252 / 6.043) min 1. De CAGR verschilt van het verwachte rendement μ = 12 m hoofdzakelijk om twee redenen: de kapitalisatie van de maandrendementen over een jaar trekt de CAGR boven μ, de volatiliteit trekt hem eronder, met ongeveer de helft van de jaarlijkse variantie.
De herbemonstering. Met de instelling “Herbemonsterd” trekt de tool 2.000 fictieve historieken van 287 maanden, willekeurig en met teruglegging gekozen uit de werkelijke maanden (bootstrap), dezelfde voor alle activa; op elk ervan berekent hij exact opnieuw de grens en het optimum van het gekozen criterium. De grens van Michaud (Michaud, 1998) is de dikke curve: op elke grens worden 100 portefeuilles genomen die regelmatig gespreid liggen in verwacht rendement, van de minst risicovolle tot de meest renderende; de gewichten worden rang voor rang gemiddeld en daarna worden die gemiddelde portefeuilles geëvalueerd met de historische parameters. Ze loopt iets onder de historische efficiënte grens, getekend als dunne lijn: dat is de prijs van de schattingsonzekerheid. Op elk volatiliteitsniveau bevat de band 80% van de geschatte grenzen (10e-90e percentiel) en de stippellijn is hun mediaan. Elke geschatte grens wordt geëvalueerd met de parameters van haar eigen trekking, die haar flatteren: de mediaan van de band loopt dus boven de historische grens. Voor de Sharpe is de gekozen portefeuille het Sharpe-maximum van de grens van Michaud, naar de werkwijze van Michaud. Voor de minimale variantie is de gekozen portefeuille het linkeruiteinde van de grens van Michaud: het gemiddelde van de 2.000 portefeuilles met minimale variantie van de trekkingen. Voor de vijf criteria die het risico anders meten, die de theorie van Michaud niet dekt (ze gaat over gemiddelde-variantie), is de gekozen portefeuille het gemiddelde van de 2.000 optima van het criterium: een uitbreiding van zijn principe, bekend als bagging (Breiman, 1996). Enige verschil met de procedure van Michaud: hij trekt zijn historieken uit een normale verdeling; trekken uit de echte maanden behoudt de staarten die Omega, Sortino, CVaR en Maxi-min meten; over de volledige historiek 2002-2026 verschuift dat de grens van Michaud met hoogstens 2 gewichtspunten. Voor elk actief geeft het paneel de bandbreedte van zijn gewicht over de 2.000 trekkingen (10e en 90e percentiel): die toont in welke mate de allocatie afhangt van de waargenomen historiek. Voor de Sharpe heeft die bandbreedte betrekking op de portefeuilles van de 2.000 grenzen die op dezelfde rang staan als het gekozen punt.
Controle. Elk optimum wordt gecontroleerd tegen een exhaustieve zoektocht over een raster van portefeuilles: geen enkele portefeuille van het raster doet beter.
Beperkingen. Dit zijn historische schattingen over één enkele periode, geen voorspellingen. De niet-overlappende maandrendementen, van de ene beursmaand naar de volgende, worden onafhankelijk verondersteld: crisissen die elkaar over meerdere maanden opvolgen en de terugkeer naar het gemiddelde van maand tot maand worden niet in rekening gebracht, noch hier, noch in het tabblad “Horizons”, dat zijn maanden ook willekeurig trekt; de tabbladen “Werkelijk verleden” en “Crisisrisico” tonen wat ze veranderen aan het werkelijk doorlopen traject. De maandelijkse herbalancering wordt kosteloos verondersteld. De risicovrije rente is een constante jaarrente, standaard gelijk aan 12 keer het gemiddelde maandrendement van de T-Bill op 13 weken over de steekproef, dezelfde conventie als voor de activa.
Waar de gegevens vandaan komen
Volledige historiek: dagelijkse “total return”-rendementen over 6.043 beursdagen, van 31 juli 2002 tot 27 augustus 2026,
dag na dag samengesteld. Standaard risicovrije rente 1,70%, 12 keer het gemiddelde maandrendement van de T-Bill op 13 weken over de gekozen periode (2002-2026).
Eén reeks is een index (S&P 500 total return), drie zijn indexfondsen
(QQQ als benadering van de Nasdaq-100, IEF voor de Treasuries 7-10 jaar, IYR voor beursgenoteerd
vastgoed) en de laatste is een termijncontract van COMEX op goud, dat niet de spotprijs is.
De rendementen van de fondsen omvatten uitkeringen, splitsingen en beheerkosten.
Goud wordt niet gemeten zoals de vier andere. De eerste vier reeksen zijn in
totaal rendement: ze herbeleggen dividenden en coupons. Goud is de prijs van een termijncontract,
dus een reeks zonder inkomsten, wat het nochtans niet benadeelt: goud keert niets uit, er
ontbreekt dus geen inkomen om te herbeleggen. Een belegger die het via gecollateraliseerde
contracten aanhoudt, zou het rendement van het onderpand ontvangen; hij zou ook de rolkosten betalen die in de prijs
van de termijncontracten verwerkt zitten; voor goud heffen beide elkaar ongeveer op.
Controle van de goudreeks. Over de volledige historiek 2002-2026 bedraagt de cumulatie van de dagelijkse
rendementen 15,178 en de verhouding tussen de contractprijzen op begin- en einddatum 15,203, of
0,16% verschil: de reeks volgt dus wel degelijk het prijsverloop, van 303,20 tot 4.609,70 dollar per ons.
De sterkste dagelijkse schommelingen zijn herkenbare marktgebeurtenissen (april 2013,
september 2008, maart 2020) eerder dan sprongen bij het wisselen van vervaldag; gemiddeld onderscheidt het rendement
van een COMEX-vervalmaand zich niet van dat van de andere maanden: er verschijnt geen enkele discontinuïteit bij het rollen
in de gegevens.
Kosten en rollen. De reeks trekt geen beheer- of opslagkosten af: ze flatteert goud lichtjes tegenover een fysiek fonds, waarvan de kosten rond 0,40% per jaar liggen. De bron publiceert haar methode voor het rollen van de contracten niet: dat is een beperking qua herkomst, ook al is ze niet zichtbaar in de gegevens.
Aanvullend actief: bitcoin. Reeks BTC-USD van Yahoo Finance (aangepaste slotkoers, identiek aan de slotkoers: bitcoin keert niets uit), verzameld op 15 oktober 2026, beschikbaar sinds 18 september 2014. Standaard niet aangevinkt. Door het aan te vinken worden alle reeksen, de datums en de standaard risicovrije rente teruggebracht tot de gemeenschappelijke periode, die korter is: over de volledige historiek ongeveer 12 jaar in plaats van 24, met minder niet-overlappende maanden en dus minder nauwkeurige schattingen. Twee beperkingen zijn eigen aan bitcoin, dat zeven dagen per week verhandeld wordt. Het weekend: de rendementen volgen de kalender van de beurs van New York, zodat het maandagrendement de periode van vrijdagavond tot maandagavond dekt. Er gaat niets verloren (het product van de rendementen geeft exact de prijsverandering terug); de maandag is daarentegen woeliger: over 2014-2026 bedraagt de standaardafwijking ervan ongeveer 1,4 keer die van de andere dagen en de maandagen vormen 25% van de 5% slechtste dagen van bitcoin, terwijl ze maar 19% van de beursdagen uitmaken. De maandrendementen, basis van de grens, de ratio’s, het CAPM en de simulaties, hangen daar niet van af. De cumulatieve rendementen over een episode evenmin: die omvatten wel degelijk de weekends. Alleen de dag-per-dagmaten van het tabblad “Crisisrisico” (slechtste dagen, dagelijkse correlaties, paniekdagen) geven de maandag het gewicht van drie marktdagen. Het slotuur: Yahoo sluit bitcoin af om middernacht UTC, drie tot vier uur na de sluiting van de beurs van New York; zoals bij goud vermindert de overgang naar maandgegevens die verschuiving.
Bron van de gegevens: Yahoo Finance, opgehaald op 29 augustus 2026. Het is een werkbron, voldoende om
te leren, onvoldoende om een analyse te certificeren of over een belegging te beslissen.