La dictature des valeurs extrêmes

Chaque case est une année du S&P 500, de 1928 à 2025. Seule la variation des cours est comptée, comme si les entreprises ne versaient aucun dividende. Chaque année est rangée dans la colonne de 10 points de pourcentage qui contient sa rentabilité annuelle (par exemple de 0 % à 10 %) ; les années négatives sont en rouge. Le trait vertical est la rentabilité attendue E[r], l'espérance de la rentabilité annuelle r, estimée par la moyenne arithmétique des 98 rentabilités annuelles. L'écart-type, appelé aussi volatilité, mesure la dispersion des rentabilités annuelles autour de E[r] : plus il est élevé, plus elles s'en écartent.

Les barres comptent les jours de bourse du S&P 500 depuis 1928, selon leur rentabilité (sans les dividendes : sur un jour, ils ne changent presque rien). La courbe orange montre ce qu'on obtiendrait si les rentabilités suivaient une loi normale de même moyenne et de même écart-type, la courbe en cloche. Dans la suite, « selon la loi normale » désigne ce calcul. Les queues de la distribution des rentabilités sont les deux extrémités de cette distribution : les jours très éloignés de la moyenne.

Entre −2 % et +2 %, là où se trouvent les jours ordinaires, la courbe suit à peu près les barres : pour ces jours, la loi normale donne un ordre de grandeur correct. Au centre, les barres dépassent la courbe : les jours très calmes sont plus nombreux que selon la loi normale. Sur l'ensemble des jours ordinaires, entre −2 % et +2 %, l'écart reste faible : 93,2 % contre 90,7 %. C'est dans les queues de la distribution des rentabilités qu'elle se trompe : le second graphique agrandit les fortes baisses, encadrées sur le premier.

Chaque intervalle borne la rentabilité d'un jour de bourse, en pourcentage. La loi normale indique combien de jours devraient tomber en dehors ; la dernière colonne compte les jours qui sont réellement tombés en dehors dans l'historique du S&P 500.

Selon la loi normale, 95 % des jours tombent dans le premier intervalle, 99 % dans le deuxième, puis 99,9 %, 99,99 % et 99,9999 %. À 95 %, la loi normale compte même un peu plus de jours en dehors que l'historique. L'écart se creuse ensuite : en dehors de l'intervalle à 99,99 %, la loi normale compte 2,5 jours ; le S&P 500 en compte 217.

La courbe suit 100 $ placés dans le S&P 500 au début des données (30/12/1927), sans les dividendes, en échelle logarithmique : une même hausse en pourcentage a partout la même hauteur. Les points rouges sont les 50 pires jours, les points verts les 50 meilleurs : ce sont les jours extrêmes de cette étape. La frise du bas les reporte sur deux lignes. Le graphique suivant mesure la turbulence du marché jour après jour.

On place 100 $ dans le S&P 500 sur la période choisie, sans les dividendes, pour comparer quatre investisseurs : toujours investi, absent des N meilleurs jours, absent des N pires jours, absent des deux. Un jour d'absence rapporte 0 % : l'argent reste en caisse. Les jours d'absence restent dans le calcul : la durée du placement ne change pas.

Le résultat se lit en TCAC (CAGR), le taux de croissance annuel composé : le taux annuel constant qui mène du capital de départ au capital final.

Selon la loi normale, le nombre de fortes baisses est le même pour les trois actifs : le seuil est fixé en écarts-types de chacun.

La rentabilité annualisée d'un placement (son TCAC) est le taux constant qui, appliqué chaque année, mène de 100 $ au capital final : 100 $ devenus 62 $ en 20 ans (1929-1948), c'est comme −2,3 % par an pendant 20 ans. Ce n'est pas la moyenne des rentabilités de chaque année, plus élevée (0,9 % sur ces 20 années).

Pour chaque durée : le nombre de placements, le pire et le meilleur (ce que deviennent 100 $ et la rentabilité annualisée), puis le nombre de placements finis sous les 100 $ de départ. S&P 500 sans les dividendes.

Chaque point de la courbe est un placement de 100 $ commencé au début de l'année indiquée, pour la durée choisie ; les placements se chevauchent. Courbe verte : le S&P 500 sans les dividendes. Courbe bleue : les bons du Trésor américains à 3 mois, renouvelés à chaque échéance, quasi sans risque de perte. Sous la ligne des 100 $, le placement a perdu de l'argent en dollars courants, avant inflation.

Chez Yahoo Finance, la série des bons du Trésor (^IRX) commence en 1960 : cette comparaison part donc de 1961. Les dividendes ne sont pas comptés, ce qui désavantage les actions face aux bons du Trésor.

Cette dernière étape relie les précédentes : des queues épaisses dans la distribution des rentabilités (étape 2), des jours extrêmes concentrés dans des périodes de turbulence (étape 3), quelques jours qui pèsent lourd sur le résultat (étape 4), des chutes brutales jusque sur l'or (étape 5) et un horizon qui resserre les rentabilités annualisées sans effacer les chocs (étape 6). Une même idée les réunit : le cygne noir.

1. La rentabilité moyenne ne suffit pas. Tout dépend des années : de 1928 à 2025, 31 années sur 98 ont été négatives. L'investisseur encaisse le TCAC (6,3 % par an), plus bas que E[r] (8,1 %).
2. Les queues de la distribution des rentabilités sont épaisses. Rangées de la pire à la meilleure, les rentabilités journalières forment une distribution ; ses queues sont ses deux extrémités, les jours de très forte baisse et de très forte hausse. Pour les jours ordinaires, entre −2 % et +2 %, la loi normale donne un ordre de grandeur correct. Dans les queues de la distribution des rentabilités, les jours extrêmes sont bien plus fréquents que selon la loi normale : depuis 1928, 87 baisses d'au moins 5 % en un jour, contre 0,29.
3. Les extrêmes arrivent par périodes de turbulence. La plupart des jours extrêmes se concentrent dans quelques périodes, comme 1929-1939, 1987, 2008-2009 et 2020. Les meilleurs jours tombent souvent à quelques jours des pires (pas toujours : 12 des 50 meilleurs jours depuis 1928 tombent à plus d'un mois de bourse de chacun des 50 pires).
4. Quelques jours pèsent lourd. Être absent quelques dizaines de jours change fortement le résultat de vingt ans ; personne ne sait les dater à l'avance de façon fiable.
5. Les métaux précieux n'y échappent pas. L'or et l'argent ont aussi leurs chutes brutales ; pour diversifier, l'intérêt de l'or tient à sa faible corrélation avec les actions.
6. L'horizon resserre les rentabilités annualisées. Sur le S&P 500 de 1928 à 2025, sans les dividendes, elles vont, dans 95 % des cas, de −34,8 % à +40,0 % par an sur 1 an et de −0,7 % à +12,4 % par an sur 20 ans : les années extrêmes, positives et négatives, se compensent en partie. 31 placements sur 98 finissent sous la mise de départ sur 1 an, 3 sur 79 sur 20 ans, aucun sur 25 ans.
7. Le risque est rémunéré, pas annulé. Depuis 1961, même sans compter les dividendes, les actions ont le plus souvent fait mieux que les bons du Trésor sur 20 ans, sans garantie. Étaler les versements atténue l'effet du moment d'entrée.
8. Les marchés sont en Extrêmistan. Quelques événements rares concentrent une grande partie des gains et des pertes : personne ne sait dater le prochain cygne noir, d'où l'intérêt de s'y préparer.